Ответы на билеты по теоретической механике на тему Аксиомы статики. Типы связей. Система сходящихся сил

Для определения ускорения точки М тела при сферическом движении вычислим производную по времени от равенства ( ):


или .
Здесь
называется вращательным ускорением точки М, а
-
осестремительным ускорением точки М.
Следовательно, ускорение любой точки при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений.
Модули осестремительного и вращательного ускорений определяются по формулам:
;
,
где - величина перпендикуляра опущенного из точки М на ось углового ускорения ОЕ. На рис. вектор осестремительного ускорения направлен согласно ( ) из точки М к мгновенной оси ОР (вдоль ). Вектор вращательного ускорения согласно ( ) направлен в точке М перпендикулярно плоскости, проходящей через эту точку и ось углового ускорения ОЕ в направлении .
Рис.
Вектор полного ускорения точки при сферическом движении определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Поэтому модуль определяется по формуле
.

32.Число степеней свободы тела при сферическом движении. Аналитический способ задания сферического движения. Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера. Регулярная прецессия.
Число S независимых координат, однозначно определяющих положение тела в пространстве, равно числу степеней свободы тела.
Следовательно, при сферическом движении тела .
Так как для задания сферического движения твердого тела необходимо задать углы Эйлера как функции времени:
, , .
Положение твердого тела вообще и плоской фигуры в частности описывается вектором положения какой–либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются , а в актуальном в момент времени . В качестве отсчетного положения чаще всœего удобно взять положение в момент времени , тогда .
При плоском движении ориентация задается одним углом (рис 4.1). Введем вектор угловой скорости где единичный вектор перпендикулярен плоской фигуре, а его направление согласовано с положительным направлением отсчета угла в соответствии с принятой ориентацией пространства. Так, в правоориентированном пространстве направлен так, что с его с конца положительное направление отсчета угла видно происходящим против часовой стрелки, т. е. ʼʼна насʼʼ. Заметим, что независимо от выбора положительного направления отсчета угла вектор направлен ʼʼна насʼʼ, в случае если фигура в данный момент времени вращается против часовой стрелки.
Запишем очевидное равенство
. (4.1)
Обозначим для краткости и разложим по актуальному базису: , где координаты постоянные величины. Разложим по отсчетному базису и продифференцируем по времени: . Нетрудно убедиться, что , , откуда следует или
(4.2)
Эта формула принято называть формулой Эйлера и она справедлива не только для плоского, но и для произвольного движения твердого тела.
Дифференцируя (4.1), получим с учетом (4.2) , или
. (4.3)
Формулу (4.3) будем называть основной формулой кинематики твердого тела.
Поведение гироскопа при вынужденной регулярной прецессии в известном смысле аналогично поведению шарика, привязанного на нити, при равномерном вращении по окружности. Сила натяжения нити тянет шарик к центру окружности, но шарик все время движется перпендикулярно к ней, непрерывно уходит в бок. Сила натяжения нити не создает, а лишь поддерживает равномерное вращение по окружности. Для создания такого вращения шарику необходимо сообщить дополнительный толчок в боковом направлении. Сила натяжения меняет только направление, но не модуль скорости. Если иметь в виду эту аналогию, то явление ухода вбок оси фигуры гироскопа при вынужденной регулярной прецессии представится, быть может, не таким уж странным, каким кажется на первый взгляд.
Поведение гироскопа при вынужденной регулярной прецессии в известном смысле аналогично поведению шарика, привязанного на нити, при равномерном вращении по окружности. Сила натяжения нити тянет шарик к центру окружности, но шарик все время движется перпендикулярно к ней, непрерывна уходит вбок. Сила натяжения нити не создает, а лишь поддерживает равномерное вращение по окружности. Для создания такого вращения шарику необходимо сообщить дополнительный толчок в боковом направлении. Сила натяжения меняет только направление, но не величину скорости. Если иметь в виду эту аналогию, то явление ухода вбок оси фигуры гироскопа при вынужденной регулярной прецессии представится, быть может, не таким уж странным, каким кажется оно на первый взгляд.

33.Теорема о разложении движения свободного твердого тела. Уравнения движения свободного твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек свободного твердого тела.
Рассмотрим свободное твердое тело D, движущееся относительно неподвижной системы отсчета ОХУZ (рис. ). Положение тела в любой момент времени однозначно определяется заданием произвольного жестко связанного с ним треугольника , т. е. заданием девяти декартовых координат, определяющих положение вершин этого треугольника. Однако так как расстояния между вершинами треугольника при его движении не изменяются (как расстояния