Основная частота области

Введение
Предметом математической физики является разработка методов решения задач,
возникающих при изучении явлений внешнего мира.
Колебания относятся к подобным явлениям внешнего мира, которые можно охарактеризовать
с помощь математического аппарата, описывающего основные показатели стороны явления и
позволяющие, также определить понятие основной частоты области, которой посвящен
данный реферат.
Часть 1 Колебания и основная частота области
Реальные процессы характеризуются величинами, зависящими, в общем случае, от координат
и времени. Соотношения между этими величинам, записанные в математических терминах,
составляют математическую модель данного процесса. Указанные соотношения являются
следствием законов природы и представляют собой дифференциальные, интегральные,
интегро-дифференциальные уравнения, а также набор дополнительных условий (граничных и
начальных), учитывающих специфические свойства системы. При этом отметим что
математическая модель лишь приближенно отражает эволюцию системы, так как невозможно
учесть все факторы, определяющие поведение ее в реальной ситуации.
2
B математической физике важную роль играют линейные дифференциальные уравнения в
частных производных. Моделирование многих физических процессов часто приводит к
линейным однородным уравнениям второго порядка общего вида
a_11 (∂^2 u)/(∂x^2 )+2a_12 (∂^2 u)/∂x∂y+a_22 (∂^2 u)/(∂y^2 ) 〖+b〗_1 ∂u/∂x 〖+b〗_2
∂u/∂e+cu=0.
Однородным оно является потому, что справа стоит ноль, и u(x,y)=0 есть тривиальное
решение дифференциального уровнения, а линейное оно потомк, что u везде входит в первой
степени и коэффициенты не зависят от u(x,y).
Классификация уравнений математической физики этого типа следующая.
Если a_12^2-a_11 a_22>0, то уравнение относится к гиперболическому виду; если a_12^2-a_11
a_22<0, то уравнение относится к эллиптическому виду; если a_12^2-a_11 a_22=0, то
уравнение относится к параболическому виду.
Рассмотрим свойства решений таких уравнений. Если
u_1 (x,y); u_2 (x,y);u_3 (x,y);….u_n (x,y);…
есть частные линейно независимые решения исходного дифференциального уравнения, то их
линейная комбинация
〖F(x,y)=C〗_1 u_1 (x,y)+C_2 u_2 (x,y)+⋯+C_n u_n (x,y)+⋯
также является решением этого уравнения. Тут C_k произвольные константы. При этом, если в
обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка ищут в такой задаче только
два линейно независимых решения, то тут их бесконечное количество. Для определения
линейной независимости n функций применяют детерминант Вронского.
Таким образом, целями и задачами уравнений математической физики является создание
уравнений, описывающих физический процесс, аналитическое этих уравнений, или создание
алгоритма, позволяющего решить задачу с помощью ЭВМ.
Пусть имеется струна длиной l, концы которой закреплены, а сама струна туго натянута. Если
отдельную точку струны оттянуть или ударить по струне, то струна выйдет из положения
равновесия и начнет колебаться. Мы не будем учитывать трение и считаем, что внешние силы
3
после первоначального воздействия отсутствуют. При этом струна будет издавать
гармоничные звуки.
Пусть у нас есть двумерная система координат ось OX и ось OU. Сама струна натянута вдоль
оси OX, а ее отклонения идут перпендикулярно оси OX по оси OU. Обозначим отклонение
струны через функцию u(x,t). Если мы знаем эту функцию, то мы в любой точке струны x и в
любой момент времени t знаем ее отклонение.
Для того, чтобы найти эту функцию, мы должны воспользоваться вторым законом Ньютона,
который дает уравнение движения
(dm) (∂^2 u)/(∂t^2 )=ρdx (∂^2 u)/(∂t^2 )=F.
Мы умножили элемент струны dx на линейную плотность струны ρ(кг⁄м) и получили массу dm
этого участка. Эту массу умножили на ускорение (∂^2 u)/(∂t^2 ) и приравняли это
произведение действующей на участок струны силе F. На рис. 3.1. показан изгиб струны. В
точке x проведена касательная.
Рисунок 1.Форма изгиба струны
(Показан наибольший угол отклонения).
Мы будем изучать только малые колебания струны. Что это значит в математическом
выражении? Раз отклонения от оси OX малы, то и угол α отклонения касательной мал. Потому
запишем sinα≈α согласно ряду