Решение задач по математике на тему Двойные интегралы, тройные интегралы, математическое моделирование и решение прикладных задач

Изменить порядок интегрирования.
∫_2^1▒〖dy∫_(-(2-y))^0▒〖fdx+∫_(-1)^0▒dy ∫_(∛y)^0▒fdx〗〗.

Решение
Выразим пределы интегрирования через х. Получим
∫_2^1▒〖dy∫_(-(2-y))^0▒〖fdx+∫_(-1)^0▒dy ∫_(∛y)^0▒〖fdx=〗〗〗
=∫_1^0▒〖dx∫_1^(2-x)▒〖fdx+∫_0^1▒dy ∫_(x^3)^1▒fdx〗〗.
Вычислить
а) ∬_D▒〖(4xy+16x^3 y^3 )dx dy,〗 D: x = 1, y = x3, y=-∛x.

Решение
Пределы интегрирования по х [0,1].
∬_D▒〖(4xy+16x^3 y^3 )dx dy=∫_0^1▒〖dx∫_(-∛x)^(x^3)▒〖(4xy+16x^3 y^3 ) dy=〗〗〗
=∫_0^1▒〖dx (2xy^2+4x^3 y^4 )|■(x^3@-∛x)┤ 〗=
=∫_0^1▒(2 x^7+4 x^15-2x^(5/3)-4x^(13/3) ) dx=
=(x^8/4+x^16/4-3/4 x^(8/3)-3/4 x^(16/3) )|■(1@0)=-1.┤

б) ∬_D▒〖3 y^2 sin xy/2 dx dy〗, D: y=√(4π/3),y=2/3 x, x = 0.

Решение
∬_D▒〖3 y^2 sin xy/2 dx dy〗=∫_0^(√(4π/3))▒〖dy∫_0^(3/2 y)▒〖3 y^2 sin xy/2 dx=〗〗
=∫_0^(√(4π/3))▒〖dy 3 y^2 2/y (-cos⁡〖xy/2〗 )|■(3/2 y@0)=∫_0^(√(4π/3))▒〖6y (1-cos⁡〖(3y^2)/4〗 )dy=〗┤ 〗
=(3y^2-4 sin⁡〖(3y^2)/4〗 )|■(√(4π/3)@0)┤=4π+0=4π.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
а) y=25/4-x^2,y=x-5/2.
Решение
Линии пересекаются при х1 = -7/2, x2 = 5/2.
Площадь фигуры равна
S=∫_(-7/2)^(5/2)▒〖(25/4-x^2-x+5/2)dx=∫_(-7/2)^(5/2)▒〖(-x^2-x+35/4)dx=〗〗
=(-x^3/3-x^2/2+35/4 x)|■(5/2@-7/2)=36.┤

б) x2 – 2 x + y2 = 0, x2 – 6 x + y2 = 0, y = 0, y = x.
Решение
Линия x2 – 2 x + y2 = 0 представляет собой окружность
радиуса 1 с центром в точке (1,0). Она пересекает линию y = 0
в точке (2,0), а линию y = x в точке (1,1).
Линия x2 – 6 x + y2 = 0 представляет собой окружность
радиуса 3 с центром в точке (3,0). Она пересекает линию y = 0
в точке (6,0), а линию y = x в точке (3,3).
Площадь фигуры определяется как сумма интегралов.
S=∫_1^2▒〖(x-√(2x-x^2 ))dx+ ∫_2^3▒〖x dx+∫_3^6▒〖√(6x-x^2 ) dx〗〗〗=
=x^2/2 |■(2@1)┤-∫_1^2▒√(2x-x^2 ) dx+x^2/2 |■(3@2)+∫_3^6▒〖√(6x-x^2 ) dx〗=┤
=4-((x-1)/2 √(2x-x^2 )+1/2 arcsin(x-1))|■(2@1)+┤
+((x-3)/2 √(6x-x^2 )+9/2 arcsin (x-3)/3)|■(6@3)┤=
=4-π/4+(9 π)/4=4+2π.
μ – поверхностная плотность пластинки D. Найти массу этой
пластинки, заданной: а) ограничивающими ее кривыми и б) неравен-
ствами.
а) D: x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = 0, x = 0 (x ≥ 0, y ≥0, μ=(x+2y)/(x^2+y^2 ).
Решение
Применим полярные координаты.
m=∫_0^(π/2)▒〖dφ∫_1^2▒r μ(r,φ) 〗 dr=∫_0^(π/2)▒〖dφ∫_1^2▒(cos⁡〖φ+2 sin⁡φ 〗 ) 〗 dr=
=∫_0^(π/2)▒(cos⁡〖φ+2 sin⁡φ 〗 ) dφ=(sin⁡〖φ-2 cos⁡φ 〗 )|■(π/2@0)=3.┤
б) D: 1≤x^2+y^2/16≤9,y≥0,y≤4 x,μ=y/x^3 .
Решение
Область D, ограничивается двумя эллипсами и прямыми y = 0 и
y = 4 x. Точки пересечения прямой y = 4 x с эллипсами (1/√2,2√2), (3/√2,6√2). Точки пересечения эллипсов с осью абсцисс (1,0) и (3,0).
Масса пластинки вычисляется как сумма интегралов. m=∫_(1/√2)^1▒〖dx∫_(4√(1-x^2 ))^4x▒〖μ(x,y)dy+∫_1^(3/√2)▒〖dx∫_0^4x▒〖μ(x,y)dy+〗〗〗〗
+∫_(3/√2)^3▒〖dx∫_0^(4√(9-x^2 ))▒〖μ(x,y)dy=〗〗
=∫_(1/√2)^1▒〖dx∫_(4√(1-x^2 ))^4x▒〖y/x^3 dy+∫_1^(3/√2)▒〖dx∫_0^4x▒〖y/x^3 dy+〗〗〗〗
+∫_(3/√2)^3▒〖dx∫_0^(4√(9-x^2 ))▒〖y/x^3 dy=〗〗
=∫_(1/√2)^1▒〖dx y^2/(2x^3 ) |■(4x@4√(1-x^2 ))+∫_1^(3/√2)▒〖dx y^2/(2x^3 ) |■(4x@0)+┤ 〗┤ 〗
+∫_(3/√2)^3▒〖dx y^2/(2x^3 ) |■(4√(9-x^2 )@0)=∫_(1/√2)^1▒(16x^2-8)/x^3 ┤dx+〗 ∫_1^(3/√2)▒〖(8x^2)/x^3 dx+〗
+∫_(3/√2)^3▒〖(72-8x^2)/x^3 dx=∫_(1/√2)^1▒〖(16/x-8/x^3 )dx+8∫_1^(3/√2)▒dx/x〗〗+
+∫_(3/√2)^3▒〖(72/x^3 -8/x)dx=(16 ln⁡〖x+4/x^2 〗 ) 〗 |■(1@1/√2)+8 ln⁡x|■(3/√2@1)+┤ ┤
+(-8 ln⁡〖x-36/x^2 〗 )|■(3@3/√2)=4-16 ln⁡〖1/√2-8+8 ln⁡〖3/√2-8 ln⁡3 〗 〗 ┤ -
-4+8 ln 3/√2+8=8 ln⁡〖3=8,789.〗
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.=
а) x + y = 6, y=√(3x,) z = 0, z = 4 y.
Решение
Определим предел интегрирования.
x + √3x-6=0,
√x=(-√3+√(3+4∙6))/2=√3,
x = 3.
Объем тела определяется с помощью двойных интегралов.
V=∫_0^3▒〖dx∫_0^(√3x)▒〖z(y) dy+〗〗 ∫_3^6▒〖dx∫_0^(6-x)▒〖z(y) dy=〗〗
=4∫_0^3▒〖dx∫_0^(√3x)▒〖y dy+4〗〗 ∫_3^6▒〖dx∫_0^(6-x)▒〖y dy=〗〗
=6∫_0^3▒〖x dx+2∫_3^6▒〖(6-x)^2 dx=9/2 x^2 |■(3@0)┤ 〗〗-2 (6-x)^3/3 |■(6@3)=┤
=27+18=45.
б) x2 + y2 = 4 y, z = 4 – x2, z = 0.
Решение
Применим интегрирование по частям.
V=∫_0^4▒dy ∫_(-√(4y-y^2 ))^(√(4y-y^2 ))▒〖z(x) dx〗=2∫_0^4▒dy ∫_0^(√(4y-y^2 ))▒〖(4-x^2 ) dx=〗
=2∫_0^4▒〖dy∙(4x-x^3/3)|■(√(4y-y^2 )@0)┤=〗
=2∫_0^4▒〖(4-(4y-y^2)/3) √(4y-y^2 ) dy=2(4y-2/3 y^2+y^3/9)×〗