Контрольная работа по предмету «Численные методы»

На тему «БДЗ по численным методам»

Задание:

Указание к БДЗ-1. могу отправить пример,выполненого бдз .Правда там другие немного задачи.Про лекции я написал,что отправил файл,если нужны лекции. Задание №3. Нужно рассматривать только вещественные корни. В комплексную область заходить не нужно. Если Вы захотите проверить своё решение в MATLAB, то следует учесть алгоритм MATLAB для вычисления радикалов. Например, работая в области действительных чисел, мы ожидаем, что (-8)^(1/3) вернёт -2. Вместо этого MATLAB возвращает комплексный корень, что нельзя считать ошибкой MATLAB. Программа не знает какой из трёх комплексных корней из числа -8 нас интересует. Чтобы получить -2, следует вместо выражения (-8)^(1/3) использовать выражение -(8^(1/3)) Поиск итерационного процесса xn+1 = φ(xn) не должен вызывать больших трудностей. Достаточно выразить переменную x в виде дроби или радикала. Скорее всего, такой итерационный процесс будет сходиться к одному из корней. Но если после 3-4 попыток не удаётся подобрать φ(x), допустимо использовать метод Ньютона (т.к. метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций) Задание №4. Может возникнуть сложность при определении начального приближения x0, если производные y(x ) и y(x) меняют знак на отрезке [a,b]. В теореме требуется, чтобы производные знак сохраняли на всём отрезке. Решение заключается в том, что мы вначале применяем один или два шага из метода деления отрезка пополам. После этого исходный отрезок [a,b] станет короче в два или четыре раза. На таком укороченном отрезке производные y(x ) и y(x) уже будут сохранять знак, и теорема применима. Задание №5-6. Для оценки погрешности многочлена Лагранжа, нужно вычислять производную y(n+1). В теореме требуется, чтобы производная была конечна на всём отрезке интерполирования [a,b]. Если окажется, что y(n+1)(a)=∞, то допустимо вместо отрезка [a,b] рассмотреть более узкий отрезок, например, [a+0.1,b] Задание №6. Одно время в пособии была опечатка в погрешности многочлена Лагранжа для чебышёвских узлов. Сейчас опечатка исправлена и правильное выражение для погрешности следующее |Rn(x)| ≤ Mn+1/(n+1)! (b-a)n+121-2(n+1), где n - степень многочлена, (n+1) - количество чебышёвских узлов. Задание №7. Для самоконтроля можно использовать функцию MATLAB polyfit. Указания БДЗ №2 Не записывать ответ в виде натуральных дробей. Только десятичные! Задание №10. Для ответа на вопрос задачи нужно использовать только значения S(h1) и S(h2). Пользоваться значениями S(2h2) или S(h2/2) нельзя. Лекции ,если надо.