Контрольная работа по высшей математике на тему Дифференциальные уравнения с двумя переменными

1. .
Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными, т.е. уравнение вида: .
Решим д.у.
.
Распишем , затем умножим на , тогда уравнение примет вид:
;
.
Разделим переменные, поделив обе части уравнения на . Получим:
.
Интегрируем обе части полученного уравнения и вычисляем интегралы:


.
Полученное равенство есть общий интеграл исходного уравнения.

2. .
Решение. Это однородное д.у.: . Преобразуем данное уравнение. Домножим на и разделим на обе части уравнения.

.
Для решения последнего уравнения вместо переменной y вводим переменную z по формуле , из которой следует, что .
Подставляя получаем:
.
В полученном уравнении переменные разделены, поэтому можно брать интегралы от левой и правой частей:
.
Последнее выражение есть общий интеграл исходного д.у.

3. .
Решение. Разделим все уравнение на :
.
Получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка: .
Разобьем решение этого уравнения на несколько этапов. Сделаем замену; сгруппируем 2 последних элемента левой части и выражение в скобках приравняем к 0.


.

.
Заметим, что при вычислении v мы не учитываем произвольную постоянную, так как достаточно иметь одну функцию v, обращающую в нуль выражение в скобке.
В уравнение подставим полученную функцию и скобку заменим на 0:


.
Возвращаясь к замене:
.
Окончательно:

4.
Решение.
Решим уравнение Бернулли. И решаем методом Бернулли.




.



,
.
Общее решение имеет вид: .

5. .
Решение.
Это д.у. 2-го порядка, допускающие понижение порядка, т.к. правая часть уравнения зависит только от x:
.
Тогда
.
Для данного уравнения, интегрируя обе части первый раз:
.
Интегрируя полученное выражение повторно:


.
Окончательно: .
6. .
Решение.
Левая часть уравнения не зависит от y. Понижаем порядок заменой:

.
Полученное уравнение есть линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Решаем его следующим образом.




.
.
.
.
Окончательно:
.

7. при ; .
Решение.
Понизим степень уравнения путем замены:




.





.
;
.

Применяя начальные условия ; , получим:







.
Подставляя в получим:
.

8.
Решение.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение и решим его.
.
Т.к. корни действительные и различные, то общее решение однородного уравнения имеет вид:
.

Теперь найдем частное решение:


,
где А и В –неопределенные коэффициенты и их нужно найти.




;
.
Общее решение данного уравнения находится как сумма двух полученных:
.

9.
Решение.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение и решим его.

.
Корни действительные и равные. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения будет иметь вид:
.
Частное решение будем искать в виде:
,
,
.
Подставляя в заданное уравнение:
.
Сокращаем:
,
.
Общее решение данного уравнения находится как сумма двух полученных:
.

10.
Решение.
Находим сначала корни характеристического уравнения:
.
Получили комплексно сопряженные корни, общее решение однородного будет иметь вид:
.
Частное решение будем искать в виде:
.
Откуда:
,
.
Подставляя в уравнение:




.
Общее решение данного уравнения находится как сумма двух полученных:
.