Контрольная работа по математическим методам и моделированию на тему 1. Метод наименьших квадратов. Цель и условия применения. Определение уравнения регрессии. Коэффициент детерминации.

Вариант 6
Метод наименьших квадратов. Цель и условия применения. Определение уравнения регрессии. Коэффициент детерминации.

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии. Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – y и x, т.е. модель вида:
y=f ̂(x)
где y - зависимая переменная (результативный признак); x- независимая, или объясняющая переменная (признак – фактор, или регрессор).
Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т.е. модель вида:
y=f ̂(x_1,x_2,…x_k)
Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т.е. с формулировки вида модели, исходя из соответствующей теории связи между переменными.
Из всего круга факторов, влияющих на результативный признак, необходимо выделить наиболее существенно влияющие факторы. Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной. Например, выдвигается гипотеза о том, что величина спроса y на товар находится в обратной зависимости от цены x, т.е. (y_x ) ̂=a-b*x.
Уравнение простой регрессии характеризует связь между двумя переменными, которая проявляется как закономерность лишь в среднем по совокупности наблюдений. (Например, если зависимость спроса y от цены x имеет вид: y=5000-2*x. Это означает, что с ростом цены на 1 д.е. спрос в среднем уменьшается на 2 д.е.).
В уравнении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи. В каждом отдельном случае величина y складывается из двух слагаемых:
y_j=(y_(x_j ) ) ̂+ε_j
где y_j - фактическое значение результативного признака; y ̂_(x_j )- значение признака, найденное из математической функции связи y и x, т.е. из уравнения регрессии; ε_j- случайная величина, характеризующая отклонение реального значения признака от найденного по уравнению регрессии.
Случайная величина называется также возмущением. Она включает влияние нe учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее порождают 3 источника: спецификация модели, выборочный характер исходных данных и ошибки измерения.
Например, зависимость спроса от цены точнее следует записывать так:
y=5000-2*x+ε
В данном случае слева записано просто y, что означает фактическое значение, а не y ̂, отвечающее значению, рассчитанному по уравнению регрессии.
Ошибки спецификации. Это прежде всего неправильно выбранная форма модели. В частности, зависимость спроса от цены может быть выражена линейно
y ̂_x=a-b*x,
но возможны и другие соотношения, например
y ̂=ax^(-b); y ̂=a+b/x; y ̂=1/(a+bx).
Ошибки спецификации тем меньше, чем в большей мере теоре-тические значения признака подходят к фактическим данным y. К ошибкам спецификации относится также недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т.е. использование парной регрессии вместо множественной. Например, спрос на конкретный товар может определяться не только ценой, но и доходом на душу населения.