Фрагмент для ознакомления
1
Семинар 1
Задача 1.1
Найдите стационарные состояния уравнений
dx/dt-ηx^4=γx^2
dx/dt-rx=δx^2
dx/dt-Ax^3=-Bx
Задача 1.2
Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x_0 до 4 порядка
f(x)=x^3+1,x_0=1
f(x)=e^(-x),x_0=2
f(x)=∛x ,x_0=1
Задача 1.3
Пусть dx/dt=f(x). Определите по графику функции f(x) устойчивость всех стационарных состояний уравнения
Задача 1.4
Пусть dx/dt=f(x). Найти стационарные состояния уравнения и определить их тип устойчивости с помощью графика функции f(x)
f(x)=x^4-6x^3+5x^2
f(x)=x^4+x^3-6x^2
Задача 1.5
Пусть dx/dt=(x-1)(x^2+bx+1). Постройте график зависимости величины стационарного значения переменной x от значений параметра b. Сколько стационарных состояний имеет уравнение при b∈(-∞;+∞)?
Семинар 2
Задача 2.1
График функции, задающей скорость изменения численности микробной популяции, имеет вид:
1) Какое выражение будет описывать динамику роста культуры, если в начальный момент времени ее размер 10^5
2) Какова будет численность культуры через 1 час, если размер в начальный момент времени ее размер 10^7
Задача 2.2
Рост популяции описывается уравнением Ферхюльста. Емкость экологической ниши для нее равна 1000. Постройте график динамики численности популяции, если известно, что начальная численность равна:
а) 10, б) 700, в) 1200
Скорость роста r=0,5. Укажите координаты точки перегиба и асимптоты.
Задача 2.3
Рост популяции описывается уравнением, учитывающим нижнюю численности и внутривидовую конкуренцию:
dx/dt=x^2/(1+x)-dx-px^2
Определите величины верхней и нижней границы численности, если известно, что коэффициент смертности равен 0,1, а внутривидовой конкуренции равен 0,4. Постройте графики динамики численности популяций для начальных значений меньших нижней критической границы, лежащих в пределах между нижней и верхней границей, и превышающих верхнюю границу.
Семинар 3
Задача 3.1
С помощью диаграммы Ламерея построить график динамики численности популяции, если зависимость N_(t+1)=f(N_t) имеет вид:
Семинар 4
Задача 4.1
Определите тип особой точки системы линейных уравнений
{█(dx/dt=-3x+2y@dy/dt=x-4y)┤
Семинар 5,6
Задача 5.1
Постройте фазовый портрет для каждой из систем задачи 4.1 в окрестности стационарного состояния: а) отметьте стационарную точку на фазовой плоскости; б) постройте главные изоклины систем, изоклины ±45D ; в) определите, под каким углом фазовые траектории должны пересекать оси координат фазовой плоскости; г) по изоклинам постройте эскиз фазового портрета, стрелкой укажите направление движения изображающей точки вдоль интегральных кривых при t → ∞ .
Задача 5.2
Для произвольной начальной точки на фазовом портрете задачи 5.1. постройте кинетический портрет.
{█(dx/dt=-3x+2y@dy/dt=x-4y)┤
Фрагмент для ознакомления
2
Семинар 1
Задача 1.1
Найдите стационарные состояния уравнений
dx/dt-ηx^4=γx^2
dx/dt-rx=δx^2
dx/dt-Ax^3=-Bx
Решение
Уравнение 1:
dx/dt-ηx^4=γx^2
dx/dt=γx^2+ηx^4
В стационарном состоянии должно выполняться равенство:
dx/dt=0
γx^2+ηx^4=0
x^2=0,x^2=-γ/η
x=0,x=±√(-γ/η)
Уравнение 2:
dx/dt-rx=δx^2
dx/dt=δx^2+rx
В стационарном состоянии должно выполняться равенство:
dx/dt=0
δx^2+rx=0
x=0,x=-r/δ
Уравнение 3:
dx/dt-Ax^3=-Bx
dx/dt=Ax^3-Bx
В стационарном состоянии должно выполняться равенство:
dx/dt=0
Ax^3-Bx=0
x=0,Ax^2=B
x=0,x=±√(B/A)
Задача 1.2
Разложите функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x_0 до 4 порядка
f(x)=x^3+1,x_0=1
f(x)=e^(-x),x_0=2
f(x)=∛x ,x_0=1
Решение
f(x)=x^3+1,x_0=1
f^' (x_0 )=3〖x_0 〗^2=3
f^''(x_0 )=6x_0=6
f^'''(x_0 )=6=6
f^IV (x_0 )=0
f(x)=2+3*(x-1)+3*(x-1)^2+(x-1)^3+o((x-1)^3 )
f(x)=e^(-x),x_0=2
f^'=-e^(-2)
f^''=-e^(-2)
f^'''=-e^(-2)
f^IV=e^(-2)
f(x)=e^(-2)-e^(-2) (x-2)+e^(-2)/2 (x-2)^2-e^(-2)/6 (x-2)^3+e^(-2)/24 (x-2)^4+o((x-2)^4 )
