Контрольная работа по математическим методам и моделированию на тему сследование эффективности использования производственных ресурсов

Часть I. Исследование эффективности использования производственных ресурсов.
Порядок выполнения задания контрольной работы иллюстрируется на следующем примере.
Пусть результаты деятельности условного предприятия оцениваются по показателю общей стоимости выпуска. Предприятие в плановом периоде может выпустить три вида продукции со следующими характеристиками:
Таблица 1
Характеристика продукции
Продукция Оптовая цена
тыс.руб/ед. Норма расхода ресурсов
Труд
т. чел.-ч./ед. Сырье
т/ед. Материалы
т/ед.
1
2
3 40
36
38 2
3
4 8
4
12 2
6
8

Известны общие объемы ресурсов в плановом периоде:
- располагаемый фонд рабочего времени T = 12 (т.чел.-ч);
- выделенные лимиты сырья S = 32 (т) и материалов M = 18 (т);
- цены сырья Ps = 1 (тыс. руб./т) и материалов Pm = 3 (тыс. руб./т).
Необходимо:
1. Найти оптимальный план производства продукции при исходных объемах ресурсов.
2. Исследовать возможность увеличения объемов выпуска в условиях свободной торговли средствами производства.
3. Оценить эффективность дополнительного вовлечения ресурсов.

Задание 1. Построение, анализ и решение исходной модели.

1.1. Введем переменные х1, х2, х3 - объемы производства соответствующих видов продукции в условно-натуральных единицах.
Модель имеет вид:
Стоимость С 40 х1 + 36 х2 + 38 х3 max
Труд Т 2 х1 + 3 х2 + 4 х3 12 (тыс. чел.-ч)
Сырье S 8 х1 + 4 х2 + 12 х3 32 (т)
Материалы М 2 х1 + 6 х2 + 8 х3 18 (т)
х1, х2, х3 0
1.2. Прежде, чем переходить к решению, проведем анализ модели. Рассмотрим простейшие показатели эффективности использования различных видов ресурсов при выпуске каждого вида продукции:
, i, j,
где C j – цена j-ой продукции, a ij – норма расхода i-го ресурса. Данные коэффициенты отображают соотношение результатов и затрат (цена в данном случае показатель результата деятельности), то есть являются показателями эффективности.
(т.р./т.Ч-Час), ; ,
(т.р./т), ; ,
(т.р./т), ; .
Экономически эти коэффициенты можно трактовать как показатели ресурсоотдачи при выпуске продукции первого, второго и третьего видов. Так, показатель = 5 тыс. руб./т показывает, что при выпуске продукции 1, затрачивая 1 т сырья, в конечном счете мы получаем результат 5 тыс. руб. Иначе можно сказать, что характеризует эффективность использования сырья при выпуске продукции первого вида.
Так, показатель = 9 тыс. руб./т показывает, что при выпуске продукции 2, затрачивая 1 т сырья, в конечном счете мы получаем результат 9 тыс. руб.
Так, показатель = 19/6 тыс. руб./т показывает, что при выпуске продукции 3, затрачивая 1 т сырья, в конечном счете мы получаем результат 19/6 тыс. руб.
1.3. Анализ коэффициентов показывает, что с точки зрения трудозатрат выгоднее всего продукция 1, так как у нее самый большой = 20. С точки зрения затрат сырья – продукция 2 ( = 9), материалов – также продукция 1 ( = 20).
Производство продукции 3 невыгодно с точки зрения использования всех трех видов ресурсов, так как у нее самые низкие показатели эффективности по труду, сырью и материалам.
Такой предварительный анализ позволяет сделать вывод, что продукция 3 не войдет в оптимальный план (ограничения на ее обязательный выпуск отсутствуют) и она может быть исключена из модели. Модель примет вид:
Стоимость С 40 х1 + 36 х2 max
Труд Т 2 х1 + 3 х2 12 (тыс. чел.-ч)
Сырье S 8 х1 + 4 х2 32 (т)
Материалы М 2 х1 + 6 х2 18 (т)
х1, х2 0
1.4. Решим задачу графически (рис.1). Ограничения T, S, M определяют многоугольник допустимых планов ABСD.

Рис. 1. Графическое решение исходной задачи.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+3x2=12
8x1+4x2=32
Решив систему уравнений, получим: x1 = 3, x2 = 2
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 40*3 + 36*2 = 192
Ресурсы используются полностью:
ТВ = 12 (т.чел.-ч), SB = 32 (т), МВ = 18 (т).
Общая стоимость выпускаемой продукции:
СВ = 40 ∙ 3 + 36 ∙ 2 = 192 (тыс. руб.).
Отметим, что в условиях централизованного выделения ресурсов сырья и материалов полученное решение явилось бы окончательным.
1.5. Эффективность использования ресурсов можно оценить по показателям Ki:



Задание 2. Исследование возможности увеличения объема выпуска при свободной торговле средствами производства.
В условиях свободной торговли средствами производства имеющиеся у предприятия (или выделенные централизованно) ресурсы, за исключением рабочей силы, могут быть приобретены или проданы на рынке.
2.1. В нашем примере все ресурсы полностью являются лимитирующими.
Необходимо определить, какие ресурсы и в каком количестве необходимы для увеличения объема выпуска продукции С по сравнению с полученным ранее оптимальным планом