Контрольная работа по высшей математике на тему Решить уравнение и неравенство.

Вариант 1
1)
а)|x–1|+|x+4|=7.
Для x ≥ 1: |x–1| = x–1, |x+4| = x+4 → (x–1)+(x+4)=2x+3=7 → 2x=4 → x=2.
Для –4 ≤ x < 1: |x–1| = 1–x, |x+4| = x+4 → (1–x)+(x+4)=5≠7, решений нет.
Для x < –4: |x–1| = 1–x, |x+4| = –(x+4)=–x–4 → (1–x)+(–x–4)= –2x–3=7 → –2x=10 → x=–5.
Ответ: x=2 и x=–5.
б)|x+1|≤3x.
если 3x < 0, неравенство невозможно (левая часть ≥ 0). Поэтому x ≥ 0.
При x ≥ 0, x+1 ≥ 0, значит |x+1|=x+1:   x+1≤3x → 1≤2x → x ≥ ½.
Ответ: x ≥ ½.

2)

Он имеет форму параболы, ветви которой направлены вверх.
Вершина параболы (минимум графика) находится в точке (0.5, –4.25).
График пересекает ось Y в точке (0, –4) и ось X примерно в точках (–1.56, 0) и (2.56, 0).
Отражение симметрично относительно прямой x = 0.5.

3) √1,5 = √(3/2).
A = √(2/3).
(√(2/3) – 3√(3/8) + 4√(3/2)) · 2√(2/3)   = 2A² – 6A√(3/8) + 8A√(3/2).
A² = 2/3 → 2A² = 4/3.  
A√(3/8) = √[(2/3)·(3/8)] = √(6/24) = √(1/4) = 1/2 → –6·(1/2) = –3.   A√(3/2) = √[(2/3)·(3/2)] = √1 = 1 → 8·1 = 8.
4/3 – 3 + 8 = 4/3 + 5 = (4 + 15)/3 = 19/3.
Ответ: 19/3.

4) Пусть A = √((2x–3)/(3x+2)); тогда √((3x+2)/(2x–3)) = 1/A.
3A = 3/A + 2,5
→ умножим на A: 3A² = 3 + 2,5A
→ 3A² – 2,5A – 3 = 0
→ умножим на 2: 6A² – 5A – 6 = 0
D = 5² + 4·6·6 = 25 + 144 = 169.
A = (5 ± 13)/12. Отрицательное значение не берем, получаем A = (18/12) = 3/2.
Так как A = √((2x–3)/(3x+2)) = 3/2, то
(2x–3)/(3x+2) = (9/4).
Умножим: 4(2x–3) = 9(3x+2)
→ 8x – 12 = 27x + 18
→ –19x = 30
→ x = –30/19
Ответ: x = –30/19.

5) x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1).
Неравенство: ((x – 2)(x + 1))/(x – 4) ≤ 0, x ≠ 4.
Критические точки: x = –1, x = 2 (нуля числителя) и x = 4 (знаменатель).
Интервалы: (–∞,–1), (–1,2), (2,4), (4,+∞).
Знак выражения:  – При x < –1, например, x = –2: (–4)(–1)/(–6) = полож/отриц = отриц.  – При –1 < x < 2, например, x = 0: (–2)(1)/(–4) = отриц/отриц = полож.  – При 2 < x < 4, например, x = 3: (1)(4)/(–1) = полож/отриц = отриц.  – При x > 4, например, x = 5: (3)(6)/(1) = полож/полож = полож.
Решаем неравенство (≤ 0): выбираем интервалы, где выражение отрицательно, и точки, где оно равно 0 (при x = –1 и x = 2). x = 4 нельзя включать.
Ответ: x ∈ (–∞,–1] ∪ [2,4).

6)
а)
б)

7)
а) 4^(√x) – 32 = 4·2^(√x)
Пусть y = √x. Тогда 4^y = (2²)^y = 2^(2y) и уравнение становится: 2^(2y) – 4·2^y – 32 = 0.
Обозначим z = 2^y, тогда: z² – 4z – 32 = 0.
Определитель: D = 144, корни: z = (4 ± 12)/2 → z = 8 и z = –4. Отбрасываем z = –4, так как 2^y > 0.
2^y = 8 → y = 3, значит √x = 3 → x = 9.
б) log₂(x² + 4x + 1) + 1 = log₂(6x + 2)
Запишем 1 как log₂2: log₂(x² + 4x + 1) + log₂2 = log₂(6x + 2).
Объединяя: log₂[2(x² + 4x + 1)] = log₂(6x + 2) → 2(x² + 4x + 1) = 6x + 2.
Раскрываем: 2x² + 8x + 2 = 6x + 2 → 2x² + 2x = 0 → 2x(x + 1) = 0. •
Решения: x = 0 и x = –1. Проверка: при x = –1 выражения под логарифмами отрицательны, поэтому допустимо только x = 0.

8)
а)Запишем числа через основание 5:
  125 = 5³, 25 = 5² →
5³·5^(3x²) ≤ (5²)^(–4x) ⟹ 5^(3+3x²) ≤ 5^(–8x).
Так как 5 > 1, сравниваем показатели:
  3 + 3x² ≤ –8x ⟹ 3x² + 8x + 3 ≤ 0.
Находим корни уравнения 3x²+8x+3=0:
  D = 64 – 36 = 28,
x = (–8 ± √28)/(6) = (–8 ± 2√7)/6.
Так как коэффициент при x² > 0, неравенство имеет решение между корнями:
  x ∈ [ (–8 – 2√7)/6, (–8 + 2√7)/6 ].
б) Область: x > 0, x ≠ 1.
Запишем: logₓ 2 = 1/log₂ x. Пусть t = log₂ x (t ≠ 0). Тогда неравенство:
  t – 2/t + 1 ≥ 0 ⟹ t + 1 – 2/t ≥ 0.
Рассмотрим два случая:
Если t > 0 (x > 1):
Умножаем на t: t² + t – 2 ≥ 0.
  Решение: t ∈ (–∞, –2] ∪ [1, ∞). При t > 0 получаем t ≥ 1, т.е. log₂ x ≥ 1 → x ≥ 2.
Если t < 0 (0 < x < 1):
Умножаем на t (меняем знак неравенства): t² + t – 2 ≤ 0.
  Решение: t ∈ [–2, 1]. При t < 0 получаем t ∈ [–2, 0), т.е. log₂ x ∈ [–2, 0) → x ∈ [2^(–2), 1) = [1/4, 1).
Ответ:
x ∈ [1/4, 1) ∪ [2, ∞).