Контрольная работа по уравнениям математической физики на тему Уравнения математической физики

Задача 2.13(а) Решить методом разделения переменных следующую задачу для неоднородного волнового уравнения
u_tt=a^2 u_xx+(2x+1) cos⁡3t+3 sin⁡x, (1)
u(0,t)=u_1=const, u(l,t)=u_2=const, (2)
u(x,0)=(u_2-u_1 ) x/l+u_1 , u_t (x,0)=0. (3)
Решение: Сначала сведем смешанную задачу (1) – (3) к задаче с однородными граничными условиями (2). Для этого подберем функцию w(x,t), удовлетворяющую граничным условиям. Учитывая тип граничных условий, эту функцию можно взять в виде
w(x,t)=u(0,t)+x/l (u(π,t)-u(0,t))=u_1+(u_2-u_1 ) x/l.
Представим решение исходной задачи в виде
u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)=v(x,t)+u_1+(u_2-u_1 ) x/l.
Задача для функции v(x,t) примет вид
v_tt=a^2 v_xx+(2x+1) cos⁡3t+3 sin⁡x, (4)
v(0,t)=0, v(l,t)=0. (5)
u(x,0)=├ (v(x,t)+u_1+(u_2-u_1 ) x/l)┤|_(t=0)=v(x,0)+u_1+(u_2-u_1 ) x/l=(u_2-u_1 ) x/l+u_1,
u_t (x,0)=├ ∂/∂t (v(x,t)+u_1+(u_2-u_1 ) x/l)┤|_(t=0)=v_t (x,0)=0,
v(x,0)=0, v_t (x,0)=0. (6)
Найдем собственные функции соответствующей однородной начально-краевой задачи с однородным волновым уравнением
v_tt=a^2 v_xx. (7)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
v(x,t)=X(x)∙T(t).
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (7)
X(x)∙T^'' (t)=a^2 X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a^2 X(x)∙T(t)
(T''(t))/(a^2 T(t))=X''(x)/X(x) =-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λX(x)=0,
T^'' (t)+a^2 λT(t)=0.
Подставляя v(x,t) в виде X(x)∙T(t) в граничные условия (5), получим
v(0,t)=X(0)⋅T(t)=0, v(l,t)=X(l)⋅T(t)=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X(0)=0, X(l)=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
{█(X''(x)+λX(x)=0@X(0)=0, X(l)=0)┤
Общее решение имеет вид
X(x)=C_1 cos⁡(√λ x)+C_2 sin(√λ x).
Неизвестные коэффициенты C_1,C_2 найдем из граничных условий
{█(X(0)=C_1=0 @X(l)=C_2 sin(√λ l)=0)┤