Контрольная работа по высшей математике на тему Контрольная работа по математике. Задача 4. Требуется найти оптимальный план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации стоимости перевозок.

ВАРИАНТ 18
Задача 1
Составьте математическую модель и решите задачу графическим методом.
Для изготовления изделий F и G предприятие использует три различных вида сырья. Норма расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия F и G, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице.
Вид сырья Нормы затрат сырья (кг) Запас сырья

F П
I 2 4 11
II 1 3 7
III 2 1 10
Цена за шт. (долл.) 1 2
Составьте план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной продукции является максимальной.
Решение
{█(2x_1+4x_2≤11@x_1+3x_2≤7@2x_1+x_2≤10)┤
F=x_1+2x_2→max

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+4x2=11
x1+3x2=7
Решив систему уравнений, получим: x1 = 2.5, x2 = 1.5
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*2.5 + 2*1.5 = 5.5
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (1), то на отрезке CD функция F(x) будет принимает одно и тоже максимальное значение.
Для определения координат точки D решим систему двух линейных уравнений:
2x1+4x2=11
2x1+x2=10
Решив систему уравнений, получим: x1 = 4.8333, x2 = 0.3333
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 1*4.8333 + 2*0.3333 = 5.5

Задача 2
Составьте математическую модель и решите задачу при помощи симплексных таблиц.
В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фанерная фабрика. Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для изготовления листов фанеры по 100 м2 требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.
Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 м3 пиломатериалов и 1200 м2 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 160 руб., а со 100 м2 фанеры - 600 руб.
Постройте математическую модель для нахождения плана производства, максимизирующего доход. При построении модели следует учесть тот факт, что пиломатериалы могут быть реализованы только в виде неделимого комплекта рахмером 2,5 м3, а фанера - в виде неделимых листов по 100 м2.
Решение
x_1- 2,5 м^3 пиломатериалов
x_2-100 м^2 фанеры
2,5x_1+5x_2≤80
7,5x_1+10x_2≤180
x_1≥4
x_2≥12
64x_1+600x_2→max
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
2.5x1+5x2+x3 = 80
7.5x1+10x2+x4 = 180
x1-x5 = 0
x2-x6 = 12
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
2,5 5 1 0 0 0 80
7,5 10 0 1 0 0 180
1 0 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 0 -1 12


Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x3.
2. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
3. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
Получаем новую матрицу:
2.5 5 1 0 0 0 80
7.5 10 0 1 0 0 180
-1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 -1 12
4. В качестве базовой переменной можно выбрать x6.
Получаем новую матрицу:
2.5 5 1 0 0 0 80
7.5 10 0 1 0 0 180
-1 0 0 0 1 0 0
0 -1 0 0 0 1 -12
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (3,4,5,6).
Выразим базисные переменные через остальные:
x3 = -2.5x1-5x2+80
x4 = -7.5x1-10x2+180
x5 = x1
x6 = x2-12
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = 64x1+600x2
Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным.
Вместо переменной x6 следует ввести переменную x2.
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x3 20 2.5 0 1 0 0 5
x4 60 7.5 0 0 1 0 10
x5 0 -1 0 0 0 1 0
x2 12 0 1 0 0 0 -1
F(X0) -7200 64 0 0 0 0 600
Выразим базисные переменные через остальные: