Математическое моделирование свойств материалов

1. Математическое описание технологических процессов. Математическая модель.

Математическая модель (ММ) - это совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отра-жающих важнейшие свойства моделируемого технологического объекта.
Моделирование большинства технологических объектов можно вы-полнять на микро-, макро- и мегауровнях, различающихся степенью дета-лизации рассмотрения процессов в рамках технологической системы (ТС). Математической моделью технологического объекта на микроуровне является обычно система дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями, но точное решение подобных систем удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели для численных исследований.
Математической моделью технологического объекта на макроуровне является также, как правило, система дифференциальных уравнений с за-данными начальными условиями, построенными на основе сочетания уравнений отдельных частей (этапов) технологического процесса (ТП) с топологическими уравнениями, вид которых определяется связями между этими этапами. Для сложных топологических объектов с большим числом этапов приходится переходить на мегауровень.
На мегауровне моделируют в основном две категории технологиче-ских объектов: объекты, являющиеся предметом исследования теории ди-намических систем, и объекты, являющиеся предметом теории массового обслуживания, в том числе и других соответствующих стохастических методов. Для первой категории объектов возможно использование детерминированного или стохастического математического аппарата макроуровня, для второй категории объектов, как правило, используют стохастические методы событийного моделирования.
Проверка адекватности ММ осуществляется сравнением контрольных результатов с экспериментом; при несовпадении требуется уточнить модель.
Принципиальным при моделировании любых технологических объектов является упрощенное отражение в модели их важнейших для данного исследования свойств; модель воспроизводит объект в определенном ограниченном диапазоне условий и требований; различные модели могут описывать различные стороны объекта.
Фундаментальным для моделирования сложных объектов является известное положение кибернетики, состоящее в том, что при сложности объекта выше некоторого уровня его адекватная (полная) модель не может быть сделана более простой.
Место и роль ММ технологических систем наиболее отчетливо выявляются при системном подходе, когда ТС рассматривается как некоторая подсистема более обширной системы проектирования, производства, сбыта и эксплуатации электронных устройств (ЭУ). Развитие техники отражается, в частности, в более детальном математическом моделировании ТС и процессов, и вместе с тем диалектическая противоречивость такой тенденции заключается в том, что к моменту, когда математическое описание системы близится к завершению, сама система близка к моральному старению. В наибольшей степени это относится к такой бурно развивающейся области техники, как микроэлектроника.
Совершенствование уже известных ММ имеет огромное значение, оно позволяет непрерывно обновлять арсенал средств оптимизации, в весьма компактной форме обобщать полученные результаты, без чего немыслимо создание все более совершенного математического обеспечения для автоматизированных систем проектирования, систем производства ЭУ и управления ими.
Среди применяемых моделей наиболее общей является описание со-стояния объекта моделирования (в данном случае операции) конечномер-ным вектором определенных функциональных или числовых параметров (или показателей), называемых выходом системы или вектором отклика.