Контрольная работа по механике на тему Примеры построения эпюры продольных сил. Напряжения при растяжении и сжатии. Кинематика точки. Способы задания движения точки. Основные характеристики движения

Вопрос №9
Кинематика точки. Способы задания движения точки. Основные характеристики движения.
Ответ

Движение точки по отношению к избранной системе отсчёта считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени. В кинематике точки рассматриваются три основных способа описания движения точки: векторный, координатный и естественный.
1. Векторный способ задания движения точки.
а) Положение точки в векторном способе задания движения определяется радиус-вектором r(t) = OMi (i = 1, 2, …, n), направленным из начала координат (от тела отсчёта) к данной точке (рис.1).

Рис.1.
Задать вектор как функцию времени – это значит уметь находить его модуль и направление в любой момент времени. При движении точки М вектор r будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Если каждому значению скалярного аргумента t поставить в соответствие вектор r(t), то r = r(t) называется векторной функцией скалярного аргумента, который описывает характер движения материальной точки. Это однозначная функция, потому что точка М в каждое мгновение находится в каком-либо одном месте, она не может быть одновременно в нескольких местах.
Равенство r = r(t) определяет собой закон движения материальной точки в векторном виде и называется векторным уравнением движения материальной точки.
Годографом вектора называется геометрическое место концов вектора в различные моменты времени, начало которых совмещены в одной фиксированной точке, то есть годограф – это кривая. Годографом радиус – вектора является траектория (рис.1).
Траекторией называется геометрическое место последовательных положений движущейся точки. Если в интервале времени t1<t<t2 траектория прямая линия, то движение в этом интервале прямолинейное, в противном случае – криволинейное. В частности, движение называется круговым, если в этом интервале времени траектория движения точки – окружность.
б) Пусть движущая точка находится в момент времени t1 в положении М1, определяемом радиус-вектором r1, а в момент t2 приходит в положение М2, определяемом вектором r2 (рис.2).

Рис.2
Перемещение из точки М1 в точку М2, – это вектор, направленный из одной точки, в точку конечного положения Δr = r2 – r1, то есть перемещение - это изменение радиус-вектора (рис.2).
Вектор перемещения направлен по хорде, если точка движется по криволинейной траектории, и вдоль самой траектории, если движение точки прямолинейное.
Перемещение отмечает положение точки М только в начальное и конечное мгновения промежутка времени, но не определяет, положение точки в каждое из мгновений этого промежутка. Чтобы это определить, необходимо время движения разбить на возможно меньшие отрезки.
в) Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие «скорость» возникло еще в доисторическую эпоху. Сравнивая движение тел, люди усвоили тогда представление о быстроте и медленности движения. Обозначение скорости буквой V было введено Л. Эйлером. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-либо промежуток времени.
Средняя скорость – это отношение изменения радиус-вектора к тому промежутку времени, за которое оно произошло, то есть - это перемещение в единицу времени. Средняя скорость характеризует собой быстроту и направление движения точки по траектории.
Vср = (r2 – r1)/(t2 – t1) = Δr/Δt
Вектор средней скорости Vср параллелен вектору перемещения Δr и направлен в сторону движения точки, и не имеет точки приложения (рис 3).

Рис.3
г) Мгновенная скорость или истинная скорость точки.
Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени, для которого вычислена средняя скорость, тем величина Vср будет точнее характеризовать движение точки. Для нахождения скорости точки в фиксированный момент времени уменьшим интервал Δt до нуля и рассмотрим предел, к которому стремится средняя скорость Vср. Этот предел и будет скоростью движущийся материальной точки в данный момент (мгновенной или истинной скоростью):
V = lim(Δr/Δt) = dr/dt
Следовательно, при векторном способе задания движения точки скоростью называется первая производная радиус - вектора точки по времени. Скорость точки в этом случае характеризует быстроту изменения радиус – вектора с течением времени.
д) Направление скорости
При Δt→0 направление секущей М1М2 (рис. 3) в пределе является направлением касательной. Поэтому: вектор скорости V в данный момент времени направлен по касательной к годографу радиус – вектора в данной точке, т.е. по касательной к траектории точки (рис.4).

Рис.4
При прямолинейном движении точки вектор скорости V все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по величине, а при криволинейном движении все время изменяется и направление вектора скорости точки (рис.5). Единица измерения скорости в системе СИ - [м/с].
Годограф скорости – геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки в последовательные моменты времени, начало которых совмещены в одной фиксированной точке.

Рис.5
е) Ускорение – вторая важнейшая характеристика движущейся точки. Только при прямолинейном движении точки ее скорость сохраняет свои численное значение и направление. При неравномерном криволинейном движении скорость точки изменяется и по модулю и по направлению.
Среднее ускорение точки– это отношение изменения скорости точки к тому промежутку времени, за которое оно произошло. Ускорение точки это векторная величина, которая характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости точки.