Математическое моделирование сельскохозяйственных процессов

Топологические уравнения механической системы. Уравнение равновесия выражает принцип Даламбера: геометрическая сумма всех сил, приложенных к твердому телу, включая силу инерции, равна нулю.

Условие непрерывности фазовых координат типа потока выражает принцип сложения скоростей при сложном движении твердого тела: геометрическая сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю.

Топологические уравнения гидравлической системы включают: уравнение равновесия давлений, действующих на сосредоточенные массы, уравнение непрерывности потоков жидкости.

Топологические уравнения тепловой системы: условие равновесия потенциалов на поверхностях контакта дискретных элементов; условие непрерывности тепловых потоков. Инерционными свойствами тепловая система не обладает. Тепловой поток в твердом теле всегда направлен противоположно градиенту температуры и меняется мгновенно.

Топологические уравнения электрической системы:

Уравнение равновесия выражает второй закон Кирхгофа. Оно составляется для замкнутых контуров электрической схемы.

Уравнение непрерывности выражает первый закон Кирхгофа. Он формулируется так: алгебраическая сумма токов для любого узла электрической схемы равна нулю.

Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для систем различной физической природы (см. табл. 3.4, 3.5). В этих аналогиях

проявляется единство физических законов, проявление общих законов мироздания, пока не сформулированных.

3. Линеаризация нелинейностей в моделях макроуровня.

Распространены следующие способы упрощения: линеаризация, снижение жёсткости системы, сокращение диапазона частот.

Линеаризация гладких нелинейностей. Нелинейная математическая модель технического объекта в нормальной форме Коши (3.2), имеющая гладкую нелинейность (Ū), может быть линеаризована разложением нелинейной функции (Ū) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки Ūо :

, (3.1)

где ū=(Ū – Ū) – вектор приращений фазовых координат от точки с координатами Ūо.

Связи учитываются добавлением в ММ уравнений связи вида

(3.2)

где – вектор координат, определяющих положение всех элементов ТС в пространстве; – вектор скоростей этих элементов; t – время.

Удерживая члены не выше первого порядка, получаем линейное уравнение в приращениях:

ū/= ū+ , (3.3)

где = – квадратная матрица коэффициентов линеаризации порядка х, называемая матрицей Якоби.

Элементами матрицы Якоби являются частные производные от нелинейной вектор-функции (Ū)=[1, 2, ….] Т :

=∂ /∂ . (3.4)

Матрица Якоби играет роль матрицы А в линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши (3.25) и характеризует важнейшие свойства системы.