Контрольная работа по Математика на тему дифференциальные уравнения. Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка

Задача 1
Найти общее решение (или общий интеграл) данных дифференциальных уравнений первого порядка:
А) (1+x^2 ) y^'=xy+xy^2
Решение
Делим обе части уравнения на (1+x^2):
y^'=(xy^2+xy)/(1+x^2 )
Вынесем множитель x в правой части за скобки:
y^'=(x(y^2+y))/(1+x^2 )
dy/dx=(x(y^2+y))/(1+x^2 )
Умножим обе части уравнения на дифференциал dx:
dy=(x(y^2+y)dx)/(1+x^2 )
Разделим обе части уравнения на (y^2+y):
dy/((y^2+y))=xdx/(1+x^2 )
Проинтегрируем обе части уравнения:
∫▒〖dy/((y^2+y))=∫▒xdx/(1+x^2 )〗
Вычисляем полученные интегралы:
ln⁡〖(y)-ln⁡〖(y+1)〗 〗=ln⁡〖(x^2+1)〗/2+C
Возведем обе части уравнения в степень:
y/(y+1)=e^C √(x^2+1)
Отсюда:
y=-1/(C√(x^2+1)-1)-1

Б) x^2 y^'=y^2+xy
Решение
(x^2 dy)/dx=y^2+xy
Умножим обе части уравнения на дифференциал dx:
x^2 dy=(y^2+xy)dx
Функция M (y;x) однородна, если M (ky;kx) = kn M (y;x). Таким образом,
k^2 x^2=k^2 y^2+k^2 xy→k^2
Сделаем замену:
u=y/x
Следовательно, y=ux,а dy=udx+xdu
Тогда:
x^2 (udx+xdu)=(u^2+u) x^2 dx
Раскрываем скобки:
ux^2 dx+x^3 du=u^2 x^2 dx+ux^2 dx
x^3 du=u^2 x^2 dx
Разделим обе части уравнения на u^2 x^3:
du/u^2 =dx/x
Проинтегрируем обе части уравнения
∫▒du/u^2 =∫▒dx1/x
1/u=C-ln⁡〖(x)〗
Выполним обратную замену:
u=y/x
x/y=C-ln⁡〖(x)〗
y=-x/ln⁡〖(x)+C〗
В) y^'+2 y/x=x^2+2x
Решение
Данное уравнение представляет собой уравнение первого порядка вида
y^'+a(x)y=b(x),
Где
a=2/x,b=x^2+2x
Применим метод Бернулли (введение двух функций)
y=uv,
y^'=uv'+u'v
Тогда:
uv^'+u^' v+2uv/x=x^2+2x
Сгруппируем:
u^' v+u(v^'+2v/x)=x^2+2x
Решим первое уравнение
v^'+2v/x=0
v^'=-2v/x
dv/dx=-2v/x
Умножим обе части уравнения на дифференциал dx:
dv=-2vdx/x
Разделим обе части уравнения на v:
dv/v=-2dx/x
Проинтегрируем обе части уравнения:
∫▒dv/v=-∫▒2dx/x
ln⁡〖(v)=-2 ln⁡〖(x)〗 〗
Возведем обе части уравнения в степень:
v=1/x^2
Решим второе уравнение:
u^' v+u(v^'+2v/x)=x^2+2x
При
v=1/x^2 и v^'+2v/x=0
u/x^2 =x^2+2x
Умножим обе части уравнения на x2:
u=x^4+2x^3
du/dx=x^4+2x^3
Умножим обе части уравнения на дифференциал dx:
du=〖(x〗^4+2x^3)dx
Проинтегрируем обе части уравнения:
∫▒〖1 du〗=∫▒〖〖(x〗^4+2x^3)dx〗
u=x^5/5+x^4/2+C
Выполним обратную замену:
u=y/v v=1/x^2
y=(2x^5+5x^4+10C)/(10x^2 )
Отсюда:
y=x^3/5+x^2/2+C/x^2

Задача 2
Найти частное решение дифференциального уравнения
y^'+xy=2〖xe〗^(-x^2/2) y^2
удовлетворяющее начальному условию
y(0)=1

Решение
Запишем данное уравнение в следующем виде:
y^'+xy=(2xy^2)/e^(x^2/2)
Данное уравнение представляет собой уравнение Бернулли вида
y^'+a(x)y=b(x) y^n,
Где
a=x,b=2x/e^(x^2/2) ,n=2
Разделим обе части уравнения на y2:
y'/y^2 +x/y=2x/e^(x^2/2)
Сделаем замену: