Реферат по высшей математике на тему Лемма о вложении коммутативного кольца без делителя нуля в поле

Факторкольцо R/I обозначает множество классов эквивалентности относительно отношения эквивалентности, индуцированного идеалом I. Операции сложения и умножения на факторкольце определяются следующим образом:
а. (a + I) + (b + I) = (a + b) + I для всех a, b ∈ R. б. (a + I) * (b + I) = (a * b) + I для всех a, b ∈ R.
4. Кольца обратимых элементов и единиц
Обратимым элементом кольца R называется такой элемент a ∈ R, что существует элемент b ∈ R, удовлетворяющий условию a * b = b * a = 1, где 1 - нейтральный элемент относительно умножения. Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу.
Единицей кольца R называется нейтральный элемент относительно умножения. В некоторых колец может не существовать единицы, однако для коммутативных колец с единицей существует множество обратимых элементов.
Важным свойством коммутативных колец является наличие делителей нуля и нильпотентов. Делителем нуля называется такой элемент a ∈ R, что существует ненулевой элемент b ∈ R, для которого a * b = 0. Нильпотентом называется такой элемент a ∈ R, что a^n = 0 для некоторого натурального числа n.
5. Гомоморфизмы колец и ядра гомоморфизмов
Гомоморфизмом колец называется такое отображение φ : R → S между коммутативными кольцами R и S, что выполняются следующие условия:
а. φ(a + b) = φ(a) + φ(b) для всех a, b ∈ R. б. φ(a * b) = φ(a) * φ(b) для всех a, b ∈ R. в. φ(1_R) = 1_S, где 1_R и 1_S - единицы колец R и S соответственно (если оба кольца имеют единицу).
Ядром гомоморфизма колец φ : R → S называется множество элементов кольца R, которые отображаются в нейтральный элемент кольца S относительно сложения:
Ker(φ) = {a ∈ R | φ(a) = 0_S}.
Ядро гомоморфизма является идеалом в кольце R, и для каждого идеала I в R существует гомоморфизм φ : R → R/I, такой что Ker(φ) = I.
Таким образом, гомоморфизмы колец и их ядра играют важную роль в изучении коммутативных колец и их свойств.
В данном разделе были представлены основные понятия и результаты, связанные с коммутативными кольцами, идеалами, факторкольцами, обратимыми элементами, делителями нуля, нильпотентами и гомоморфизмами колец. Эти знания необходимы для понимания и изучения леммы о вложении коммутативного кольца без делителя нуля в поле и ее применений в алгебре и других областях математики.