Контрольная работа по высшей математике на тему Позиционные системы счисления, отличные от десятичной. Запись чисел. Арифметические действия в р-ичной системе счисления.

Теоретический вопрос
Позиционные системы счисления, отличные от десятичной. Запись чисел. Арифметические действия в р-ичной системе счисления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.
Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно p, то система счисления называется
р-ичной.
Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в p-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x=a_n·p^n+a_(n-1)·p^(n-1)+a_(n-2)·p^(n-2)+⋯+a_1·p^1+a_0·p^0+a_(-1)·p^(-1)+
+⋯+a_(-m)·p^(-m)
Наиболее известными позиционными системами счисления отличнвми от десятичной системы являются:
1) Двоичная. Система счисления с основанием 2, используются два символа – 0 и 1;
2) Восьмеричная. Система счисления с основанием 8, используются два символа – 0 до 7;
3) Двенадцатеричная. Система счисления с основанием 12, используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, A, B;
4) Шестнадцатеричная. Система счисления с основанием 16, используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для оболзначения цифр от 10 до 15;
5) Шестидесятеричная. Система с основанием 60, используется в измерении углов и, в частности долготы и широты.
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию p системы счисления.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием p>1 обычно используют следующий алгоритм:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на p, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на p, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на p выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на p, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на p и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю.
При переводе чисел из системы счисления с основанием p в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.