Контрольная работа по линейной алгебре на тему Найдите ранг матрицы

Задание 1. Найдите ранг матрицы:
A=(■(1@2@1)■(3@-1@ 10)■(-1@3@6)■(2@5@1))
Решение.
От второй строки отнимаем первую строку, умноженную на 2. От третьей строки отнимаем первую строку, умноженную на 1:
(■(1@0@0)■( 3@-7@ 7)■(-1@ 5@-5)■( 2@ 1@-1))
Вторую строку делим на -7:
(■(1@0@0)■( 3@1@ 7)■(-1@-5/7@-5)■( 2@-1/7@-1))
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 7:
(■(1@0@0)■( 3@1@0)■(-1@-5/7@0)■( 2@-1/7@0))
Так как ненулевых строк две, то ранг матрицы А:
rangA=2
Задание 2. Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность. Решить систему тремя способами:
а) по правилу Крамера;
б) средством матричных исчислений;
в) методом Гаусса.
{█(x+5y-4z+5=0@2x-3y+z-2=0@4x+y-3z+4=0)┤
Решение.
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.Выпишем расширенную и основную матрицы:
A=(■(1&5&-4@2&-3&1@4&1&-3)│■(-5@2@-4)); B=(■(1&5&-4@2&-3&1@4&1&-3))
Приведем матрицу А к треугольному виду.
Умножим первую строку на -2 и прибавим к ней вторую строку:
(■(0&-13&9@2&-3&1@4&1&-3)│■(12@2@-4))
Умножим вторую строку на -2 и прибавим к ней третью:
(■(0&-13&9@0&7&-5@4&1&-3)│■(12@-8@-4))
К первой строке, умноженной на 7, прибавляем вторую строку, умноженную на 13:
(■(0&0&-2@0&7&-5@4&1&-3)│■(20@-8@-4))
Ранг матрицы В равен 3.
Проводя те же действия с матрицей А, убедимся, что ее ранг тоже равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна.
а) Решим систему линейных уравнений по формулам Крамера. Для этого найдём главный определитель системы:
∆=|■(1&5&-4@2&-3&1@4&1&-3)|=1∙|■(-3&1@1&-3)|-5∙|■(2&1@4&-3)|+(-4)∙|■(2&-3@4&1)|=
=1(-3∙(-3)-1∙1)-5(2∙(-3)-4∙1)-4(2∙1-4∙(-3))=2≠0
Так как ∆≠0, следовательно, система имеет единственное решение, и нужно найти еще три определителя.
∆_1=|■(-5&5&-4@2&-3&1@-4&1&-3)|=-5∙|■(-3&1@1&-3)|-5∙|■(2&1@-4&-3)|+(-4)∙|■(2&-3@-4&1)|=
=-5(9-1)-5(-6-(-4))-4(2-12)=10
x_1=∆_1/∆=10/2=5
∆_2=|■(1&-5&-4@2&2&1@4&-4&-3)|=1∙|■(2&1@-4&-3)|-(-5)∙|■(2&1@4&-3)|+(-4)∙|■(2&2@4&-4)|=
=1(-6-(-4))+5(-6-4)-4(-8-8)=12
x_2=∆_2/∆=12/2=6

∆_3=|■(1&5&-5@2&-3&2@4&1&-4)|=1∙|■(-3&2@1&-4)|-5∙|■(2&2@4&-4)|+(-5)∙|■(2&-3@4&1)|=
=1(12-2)-5(-8-8)-5(2-(-12))=20
x_3=∆_3/∆=20/2=10.
{■(x_1=5,@x_2=6,@x_3=10)┤
б) Решим методом обратной матрицы.
Данная система может быть записана матричным уравнением:
A∙X=B,
где A=(■(1&5&-4@2&-3&1@4&1&-3)), X=(■(x_1@x_2@x_3 )),B=(■(-5@2@-4))
Выражая из этого уравнения X, получим:
X=A^(-1)∙B
Найдём определитель матрицы А.
|А|=|■(1&5&-4@2&-3&1@4&1&-3)|=2 (Находили в первом пункте задания)
Так как |А|≠0, то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.
Найдем обратную матрицу А^(-1) с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения A_ij к соответствующим элементам матрицы А.
A_11=〖(-1)〗^(1+1)∙|■(-3&1@1&-3)|=8
A_12=〖(-1)〗^(1+2)∙|■(2&1@4&-3)|=10
A_13=〖(-1)〗^(1+3)∙|■(2&-3@4&1)|=14
A_21=〖(-1)〗^(2+1)∙|■(5&-4@1&-3)|=11