Контрольная работа по математическому анализу на тему Матрицы и действия над ними, вектора

РЕШЕНИЕ

{█(x_1+2x_2+3x_3+4x_4=7@x_1+0x_2+2x_3+2x_4=5@4x_1+x_2-x_3+0x_4=3@x_1+x_2-x_3+3x_4=6)┤

1. Решение матричным способом.

Запишем систему уравнений в виде матричного равенства.

(■(1&2&3&4@1&0&2&2@4&1&-1&0@1&1&-1&3))(■(x_1@x_2@x_3@x_4 ))=(■(7@5@3@6))

Откуда

(■(x_1@x_2@x_3@x_4 ))=(■(1&2&3&4@1&0&2&2@4&1&-1&0@1&1&-1&3))^(-1) (■(7@5@3@6))

Обратную матрицу находим: приписыванием справа единичной матрицы, затем выполняем с полученной матрицей 4 x 8 элементарных преобразований, чтобы слева была единичная матрица. Тогда справа будет обратная матрица.

1 2 3 4 1 0 0 0
1 0 2 2 0 1 0 0
4 1 -1 0 0 0 1 0
1 1 -1 3 0 0 0 1

Прибавим к второй строке первую, умноженную на -1.
Прибавим к третьей строке первую, умноженную на -4.
Прибавим к четвертой строке первую, умноженную на -1.

1 2 3 4 1 0 0 0
0 -2 -1 -2 -1 1 0 0
0 -7 -13 -16 -4 0 1 0
0 -1 -4 -1 -1 0 0 1

Прибавим к первой строке четвертую, умноженную на 2.
Прибавим к второй строке четвертую, умноженную на -2.
Прибавим к третьей строке четвертую, умноженную на -7.

1 0 -5 2 -1 0 0 2
0 0 7 0 1 1 0 -2
0 0 15 -9 3 0 1 -7
0 -1 -4 -1 -1 0 0 1

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 5/7
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на -15/7
Прибавим к четвертой строке вторую, умноженную на -15/7

1 0 0 2 -2/7 5/7 0 4/7
0 0 7 0 1 1 0 -2
0 0 0 -9 6/7 -15/7 1 -19/7
0 -1 0 -1 -3/7 4/7 0 -1/7

Прибавим к первой строке третью, умноженную на 2/9
Умножим вторую строку на 1/7
Умножим третью строку на -1/9
Прибавим к четвертой строке третью, умноженную на -1/9

1 0 0 0 - 2/21 5/21 2/9 - 2/63
0 0 1 0 1/7 1/7 0 - 2/7
0 0 0 1 - 2/21 5/21 - 1/9 19/63
0 -1 0 0 - 11/21 17/21 - 1/9 10/63

Умножим четвертую строку на -1 и поставим ее второй.
Вторую строку поставим третьей.
Третью строку поставим четвертой.

1 0 0 0 - 2/21 5/21 2/9 - 2/63
0 1 0 0 11/21 - 17/21 1/9 - 10/63
0 0 1 0 1/7 1/7 0 - 2/7
0 0 0 1 - 2/21 5/21 - 1/9 19/63

Слева получилась единичная матрица. Справа - обратная матрица.

РЕШЕНИЕ

{█(2x_1+2x_2-x_3+x_4=4@4x_1+3x_2-x_3-2x_4=6@8x_1+5x_2-3x_3+4x_4=12@4x_1+2x_2-2x_3+6x_4=6)┤

Метод Гаусса.

Прибавим к второй строке первую, умноженную на -2.
Прибавим к третьей строке первую, умноженную на -4.
Прибавим к четвертой строке первую, умноженную на -2.

{█(2x_1+2x_2-x_3+x_4=4@0x_1- x_2+x_3-4x_4=-2@0x_1-3x_2+x_3+0x_4=-4@0x_1-2x_2+0x_3+4x_4=-2)┤

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 2.
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на -3.
Прибавим к четвертой строке вторую, умноженную на -2.

{█(2x_1+0x_2+x_3-7x_4=0@0x_1- x_2+x_3-4x_4=-2@0x_1+0x_2-2x_3+12x_4=2@0x_1+0x_2-2x_3+12x_4=2)┤

Третье уравнение тождественно четвертому, четвертое убираем.

Прибавим к первому уравнению третье, умноженное на 0,5.
Прибавим к второму уравнению третье, умноженное на 0,5.
Умножим третье уравнение на -0,5

{█(2x_1+0x_2+0x_3-x_4=1@0x_1- x_2+0x_3+2x_4=-1@0x_1+0x_2+x_3-6x_4=-1)┤

Получаем общее решение системы уравнений:

x_1=0,5x_4+0,5
x_2=2x_4+1
x_3=6x_4-1

x_4-свободная переменная.

Получаем базисное решение системы уравнений при x4 = 1

x_1=1;x_2=3;x_3=5;x_4=1

Получаем частное решение системы уравнений при x4 = 0

x_1=0,5;x_2=1;x_3=-1;x_4=0

Проверка.

{█(2x_1+2x_2-x_3+x_4=4-верно.@4x_1+3x_2-x_3-2x_4=6-верно.@8x_1+5x_2-3x_3+4x_4=12-верно.@4x_1+2x_2-2x_3+6x_4=6-верно.)┤

 

РЕШЕНИЕ

{█(x_1+x_2+x_3-x_4-x_5=0@2x_1+x_2-2x_3-x_4-2x_5=0@x_1+2x_2+5x_3-2x_4-5x_5=0)┤

Метод Гаусса.

Прибавим к второй строке первую, умноженную на -2.
Прибавим к третьей строке первую, умноженную на -1.

{█(x_1+x_2+x_3-x_4-x_5=0@0x_1-x_2-4x_3+x_4+0x_5=0@0x_1+x_2+4x_3-x_4-4x_5=0)┤

Прибавим к первой строке вторую.
Прибавим к четвертой строке вторую.

{█(x_1+0x_2-3x_3+0x_4-x_5=0@0x_1-x_2-4x_3+x_4+0x_5=0@0x_1+0x_2+0x_3+0x_4-4x_5=0)┤

x_5=0;x_1=3x_3;x_2=-4x_3+x_4
- общее решение системы.

x_3,x_4-свободные переменные.
Фундаментальная система решений.

x_3=1;x_4=0;x_1=3;x_2=-4;x_5=0
x_3=0;x_4=1;x_1=0;x_2=1;x_5=0

Ответ:
Общее решение системы:
x_1=3x_3;x_2=-4x_3+x_4;x_5=0
x_3,x_4-свободные переменные.

Фундаментальная система решений.
x_1=3;x_2=-4;x_3=1;x_4=0;x_5=0
x_1=0;x_2=1;x_3=0;x_4=1;x_5=0