Как изменится горизонтальная облученность в точке Б, если усеченный конус повернуть около точки O так, чтобы его основания стали параллельными горизонтальной плоскости?

Задача 1.19

Равнояркий усеченный конус, расположенный, как указано на рис. 1 (D_1= 1 см; D_2= 0,25 см; h = 1 см; H = 5 м), создает в точке Б горизонтальной плоскости облученность E_eБ=2 Вт⁄м^2 . Определить энергетическую яркость поверхности усеченного конуса. Как изменится горизонтальная облученность в точке Б, если усеченный конус повернуть около точки O так, чтобы его основания стали параллельными горизонтальной плоскости?
Дано:
D_1= 1 см;
D_2= 0,25 cм;
h= 1 cм;
H= 5 м;
E_eБ= 2 Вт/м2
Найти: L_e,E_(eБ,пов)

Решение.
Рассматриваемый в задаче усеченный конус относительно точки Б может рассматриваться в качестве точечного источника излучения, исходя из соотношения размеров самого усеченного конуса и расстояния от точки O до лежащей на горизонтальной плоскости точки Б:
h/H∙100 %=0,01/5∙100 %=0,2 %; cos⁡〖(h/2H)=cos⁡〖(0,01/(2∙5))≈1,00〗 〗.
Сила излучения поверхности усеченного конуса в направлении к точке Б в положении, изображенном на рис. 1, равна энергетической яркости умноженной на площадь проекции источника излучения на горизонтальную плоскость, и определяется по формуле:
I_e=L_e∙σ, (1)
где L_e – горизонтальная облученность в точке Б, Вт⁄((ср∙м^2 ) );
σ – площадь проекции источника излучения на горизонтальную плоскость, м2.
Проекция источника излучения на горизонтальную плоскость представляет собой в нашем случае равнобедренную трапецию, площадь которой равна:
σ=(D_1+D_2)/2∙h. (2)
Тогда
I_e=L_e h∙(D_1+D_2)/2. (3)
Горизонтальная облученность в точке Б, создаваемая при расположении конуса так, как показано на рис. 1, исключительно боковой поверхностью конуса:
E_eБ=I_e/H^2 =L_e h∙(D_1+D_2)/(2H^2 ). (4)
Отсюда энергетическая яркость боковой поверхности усеченного конуса:
L_e=(2E_eБ H^2)/h(D_1+D_2 ) , (5)
L_e=(2∙2∙5^2)/(0,01∙(0,01+0,0025) )=8∙〖10〗^5 Вт/(ср∙м^2 )=800 кВт/(ср∙м^2 ).
Поскольку, по условию задачи, поверхность усеченного конуса является равнояркой, поверхности его оснований имеют то же значение энергетической яркости, т.е. L_(e,осн)=L_e=800 кВт⁄((ср∙м^2 ) ).
При повороте конуса около точки O так, чтобы его основания стали параллельными горизонтальной плоскости, проекция источника излучения на горизонтальную плоскость будет представлять собой круг, площадь которого равна:
σ=(πD_1^2)/4. (6)
Соответственно, сила излучения поверхности усеченного конуса в направлении к точке Б в этом случае
I_e=L_e (πD_1^2)/4. (7)
Горизонтальная облученность в точке Б, создаваемая в этом случае либо исключительно большим основанием, либо меньшим основанием и боковой поверхностью, будет равна:
E_(eБ,пов)=I_e/H^2 =L_e (πD_1^2)/(4H^2 ), (8)
E_(eБ,пов)=L_e (πD_1^2)/(4H^2 )=8∙〖10〗^5∙(3,14∙〖0,01〗^2)/(4∙5^2 )=2,51 Вт/м^2 ,
т.е. возрастет по сравнению со случаем расположения конуса, изображенным на рис. 1.