Содержание и методика проведения математического кружка в 5 классе

В программе для общеобразовательных школ этот принцип не рассматривается. В учебнике Н.Я. Виленкина и др. [1] для учащихся 5 класса принцип Дирихле представлен на полутора страницах отдельным параграфом для дополнительного изучения. В пособиях по математике для внеклассной работы со школьниками принцип Дирихле представлен повсеместно [3], [4], [5], [7], [10], [11], [12], [14] и др. В большей части даётся формулировка принципа «ящиков», приводятся примеры решения задач с помощью этого принципа, а также задачи для самостоятельного решения. Можно выделить, пожалуй, единственное пособие для занятий математического кружка С.А. Генкина, И.В Итенберга и Д.В. Фомина [4], в котором присутствуют не только подробные разъяснения для учащихся, но и методические комментарии для педагогов-тренеров.
Авторы обращают внимание на «расплывчатость» выводов в формулировке принципа («в какой-то из клеток», «не менее») и на кажущуюся недостаточность сведений в условии [4, с. 39].

2.2 Приемы работы с детьми
Анализ материалов вышеперечисленных учебных пособий и статей [2], [8] позволяет выделить в целом единый, традиционный подход, который при обучении принципу Дирихле учащихся 5-7 классов сводится к последовательному выполнению следующих шагов:
1) учащимся предлагается задача на применение принципа Дирихле, при решении которой они испытывают трудности логического обоснования;
2) разбирается доказательство утверждения и его возможного обобщения;
3) формулируется сам принцип и его доказательство;
4) сознательно повторяют рассуждения (отработка) на задачах, цель решения которых — научить учащихся выделять объекты-«зайцы» и объекты-«клетки»;
5) формулируется обобщенный принцип «ящиков» и разбираются решения сопутствующих ему задач.
Построение занятий по указанной схеме приводит к реализации следующих задач обучения: запоминание формулировки принципа учащимися и отработка типичных рассуждений при решении задач. Многолетние занятия по традиционной схеме показали невысокий уровень освоения при обучении учащихся. Улучшение результатов возможно посредством увеличения часов, но сами авторы пособия рекомендуют: «Мы считаем неправильным заниматься с младшеклассниками одной темой в течение продолжительного промежутка времени. Даже в рамках одного занятия полезно иногда сменить направление деятельности» [4, с. 4].
На наш взгляд, традиционный подход в обучении учащихся принципу Дирихле создает у учащихся иллюзию оторванности принципа от остальных разделов элементарной математики.
Мы предлагаем разделить изучение принципа Дирихле на кружковых занятиях учащихся 5-7 классов на два этапа. На первом этапе учащиеся знакомятся с методом от противного при решении простейших задач на доказательство. На следующем этапе учащиеся осмысливают, достраивают и переосознают «расплывчатые» формулировки, которые встречаются во многих задачах на принцип Дирихле. Здесь мы имеем ввиду часто встречающиеся смысловые конструкции, включающие в себя кванторы существования («найдётся клетка», «существует хотя бы один объект» и т.п.) и сравнительные утверждения («два или более зайцев», «по крайней мере два объекта» и т.п.). Кроме того, особо выделим формулировки утверждений задач, в которых предлагается доказать, что найдется клетка, в которой сидят а) «не менее двух зайцев», б) «более одного зайца»; в) «два и более зайцев» и г) «два зайца». Последняя формулировка — наиболее сложная в понимании учащихся: воспринимая ее буквально, они пытаются опровергнуть утверждение, рассаживая зайцев в клетки по 3 и по 1, и тогда, как они считают, заключение неверно.
Практика наблюдения за учащимися показывает, что они не знают, как решать задачи с формулировкой заключения: «Докажите, что найдется клетка, в которой сидят два зайца». Для этого учащимся 5-7 классов, которые занимаются в математическом кружке первый год, мы предлагаем самостоятельно решить традиционную задачу на принцип Дирихле: «В 5 клетках сидят 7 зайцев. Докажите, что найдется клетка, в которой сидят два зайца». Было интересно понять, как дети 210 осознают вопрос задачи, сможет ли кто-то из них самостоятельно вывести доказательство принципа Дирихле в этом частном случае. Отметим, что перед занятием дети уже были знакомы как минимум с двумя темами.
Первая – это «Логические задачи», где учащиеся находили соответствия между множествами, определяли истинные и ложные утверждения, находили противоречия.
Вторая тема – «Чётность», при изучении которой учащиеся решали задачи на доказательство, в частности, отыскивая противоречия в неправильных решениях. Формулировка предложенной задачи на принцип Дирихле, видимо, была настолько непривычна учащимся, что ни один из них не привел самостоятельно полное доказательство. Типичные комментарии школьников сводились к фразам типа «И так все понятно. Что здесь доказывать? Иначе быть не может». Другими словами, учащиеся интуитивно понимали, что доказываемое утверждение верно, но настоящее доказательство сформулировать не смогли. Наиболее характерным рассуждением учащихся является следующее: «Если мы будем по одному зайцу сажать в клетку, то остальных двух придется посадить в клетку с другими зайцами» (распределение – 1, 1, 1, 2, 2). В принципе, данное рассуждение верно, однако следует отметить, что это только один из случаев распределения зайцев по клеткам, а существуют и другие. Педагогу необходимо также обратить внимание учащихся на то, что среди многочисленных распределений, возможно, найдется такое, в котором не выполняется доказываемое утверждение. После этого дети начинают сомневаться в своем доказательстве, и здесь — для придания им уверенности — полезным является рассмотрение нескольких случаев распределения зайцев по клеткам, например, (3, 4, 0, 0, 0) или (0, 0, 0, 7, 0).
На этих примерах дети осознают смысл утверждения «сидят два зайца». (В последнем распределении: если в клетке сидят семь зайцев, то два там сидят точно.)
На следующем этапе занятия педагог дает решение задачи методом от противного с последующим методологическим обобщением в виде плана решения таких задач:
1) в задаче на доказательство выделяем условие и заключение;
2) строим отрицание заключения;
3) находим противоречие между условием и отрицанием заключения.
Практика обучения показала, что если учащиеся уже знакомы с темами «Логика» и «Чётность», то они достаточно успешно и с интересом усваивают и метод от противного, и принцип Дирихле. Формулировка этого плана без предварительного изучения указанных тем или аналогичных им, на наш взгляд, является преждевременной.
Для усиления метапредметности на занятиях с учащимися уместно рассказать о значении метода от противного для математики на примерах великих научных открытий. В своей практике мы приводили пример открытия неевклидовой геометрии великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским. Рассказ о жизни учёного, сути открытия и его значении для прогресса всей науки в целом [9] меняет представление учащихся о ценности этого метода. Наши наблюдения показывают, что после такого отступления учащиеся с трепетом и уважением начинают относиться к методам решения математических задач и с большей осознанностью используют метод от противного. После решения двух-трёх задач можно формулировать принцип Дирихле. Последующие задачи необходимо решать с учащимися двумя способами: методом от противного и по принципу Дирихле.
Практика обучения показала, что при первом знакомстве более удобным для учащихся 5-7 классов является метод от противного, а не принцип Дирихле. Активное, осознанное использование принципа Дирихле при решении задач проявляется у большинства учащихся, начиная только с 8-9 классов. В заключение отметим, что сформулированный подход к проектированию и реализации занятий по теме «Принцип Дирихле» соответствует ФГОС ООО и является примером переориентирования традиционных целей на занятиях математического кружка в школе.

2.3 Особенности кружковой работы с детьми
Особенности кружка и кружковой работы по математике:
• кружок может иметь свое название, которое придумывают дети: «Почемучка», «Кружок юных математиков» и др.;
• проводится не чаще 1 раза в неделю;
• выпускается газета, оформляется математический уголок в классе;
• могут принимать участие все желающие, помимо членов кружка.